School

Полином на една променлива - израз от следния вид

$$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$$

а) степен на полинома ($\mathrm{deg}(P)$) - най-високата степен на $x$, която има ненулев коефициент в полинома

б) старши коефициент - коефициентът пред най-високата степен на $x$

в) свободен член - коефициентът пред нулевата степен на $x$

• равен е на стойността на полинома при $x=0$

Деление на полиноми - всеки полином $A(x)$ може да се представи еднозначно в следната форма

$$A(x)=B(x)Q(x)+R(x)⟺\frac{A(x)}{B(x)}=Q(x)+\frac{R(x)}{B(x)}$$

а) делимо - полиномът $A(x)$

б) делител - полиномът $Q(x)$

в) частно - полиномът $Q(x)$

• $\mathrm{deg}(Q)=\mathrm{deg}(A)-\mathrm{deg}(B)$

г) остатък - полиномът $R(x)$

• $\mathrm{deg}(R)<\mathrm{deg}(B)$

Корен (нула) на полином - числото $x_0$ се нарича корен (нула) на полинома $A(x)$, когато $A(x_0)=0$

а) брой корени - всеки полином от степен $n$ има най-много $n$ различни корена

Теорема:

Числото $p$ е корен на полинома $A(x)$ тогава и само тогава, когато $A(x)$ се дели на $(x-p)$.

Доказателство: Ако $A(x)$ се дели на $x-p$, то $A(x)=(x-p)Q(x)$ и при $x=p$ се получава $A(p)=(p-p)Q(p)=0$. Ако $x-p$ е нула на $A(x)$, то $A(x)=(x-p)Q(x)+R$ се превръща във $A(p)=(p-p)Q(p)+R=0$ при $x=p$ и следователно остатъкът $R$ трябва да е нула.

б) кратност на корена - числото $p$ е $k$-кратен корен на полинома $A(x)$, ако $A(x)=(x-p{)}^{k}Q(x)$ и $Q(p)\ne 0$

Тъждественост на полиноми - ако два полинома на една променлива от степен $\le n$ имат еднакви стойности за $n+1$ различни стойности на променливата, то те са тъждествено равни